۱- با توجه به مثال‌های حل شده‌ی زیر، پاسخ موارد بعدی را به صورت یک عدد توان‌دار با توان طبیعی بنویسید:
ج) $(-۶)^{-۳} = \frac{۱}{\dots} = \dots =$
د) $(-\frac{۲}{۷})^{-۴} = \dots = \dots =$
پاسخ تشریحی:
این تمرین به ما قاعده‌ی توان‌های منفی را آموزش می‌دهد. قاعده‌ی اصلی این است که $ a^{-n} = \frac{۱}{a^n} $ و برای کسرها، $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $.
**ج) $(-۶)^{-۳}$**
۱. ابتدا با استفاده از قانون توان منفی، عدد را به مخرج کسر می‌بریم و توان آن را مثبت می‌کنیم:
$ (-۶)^{-۳} = \frac{۱}{(-۶)^۳} $
۲. توان ۳ را محاسبه می‌کنیم:
$ (-۶)^۳ = (-۶) \times (-۶) \times (-۶) = -۲۱۶ $
پس حاصل برابر $ \frac{۱}{-۲۱۶} $ است.
۳. در نهایت، آن را به صورت عددی با توان طبیعی (مثبت) می‌نویسیم:
$ \frac{۱}{-۲۱۶} = \frac{۱}{(-۶)^۳} = (-\frac{۱}{۶})^۳ $
**پاسخ نهایی:** $ (-۶)^{-۳} = (-\frac{۱}{۶})^۳ $
---
**د) $(-\frac{۲}{۷})^{-۴}$**
۱. برای به توان رساندن یک کسر با توان منفی، کسر را **معکوس** کرده و توان را **مثبت** می‌کنیم:
$ (-\frac{۲}{۷})^{-۴} = (-\frac{۷}{۲})^۴ $
۲. حالا کسر به دست آمده را به توان ۴ می‌رسانیم (این مرحله برای رسیدن به پاسخ نهایی لازم نیست، چون سوال پاسخ را به صورت عدد توان‌دار خواسته است).
$ (-\frac{۷}{۲})^۴ = \frac{(-۷)^۴}{۲^۴} = \frac{۲۴۰۱}{۱۶} $
**پاسخ نهایی:** $ (-\frac{۲}{۷})^{-۴} = (-\frac{۷}{۲})^۴ $
۲- عبارت‌های برابر را مانند نمونه به هم وصل کنید: ($x \neq ۰, y \neq ۰$)
پاسخ تشریحی:
برای پیدا کردن جفت‌های برابر، هر عبارت در ردیف بالا را با استفاده از قوانین توان ساده می‌کنیم:
* **$ (\frac{۲}{۵})^{-۱} $**: کسر را معکوس و توان را مثبت می‌کنیم: $ (\frac{۵}{۲})^۱ = \frac{۵}{۲} $
**متصل به: $ \frac{۵}{۲} $**
* **$ xy^{-۱} $**: توان منفی فقط برای $y$ است: $ x \cdot \frac{۱}{y^۱} = \frac{x}{y} $
**متصل به: $ \frac{x}{y} $**
* **$ (\frac{x}{y})^{-۱} $**: کسر را معکوس و توان را مثبت می‌کنیم: $ (\frac{y}{x})^۱ = \frac{y}{x} $
**متصل به: $ \frac{y}{x} $**
* **$ (\frac{۱}{۵})^{-۳} $**: کسر را معکوس و توان را مثبت می‌کنیم: $ (\frac{۵}{۱})^۳ = ۵^۳ $
**متصل به: $ ۵^۳ $**
* **$ (-۲)^۲ $**: $ (-۲) \times (-۲) = ۴ $
**متصل به: $ ۴ $ (نمونه)**
* **$ (xy)^{-۱} $**: توان منفی به هر دو متغیر اعمال می‌شود: $ x^{-۱}y^{-۱} = \frac{۱}{x} \cdot \frac{۱}{y} = \frac{۱}{xy} $
**متصل به: $ \frac{۱}{xy} $**
* **$ x^{-۱} $**: $ \frac{۱}{x^۱} = \frac{۱}{x} $
**متصل به: $ \frac{۱}{x} $**
* **$ ۲^{-۲} $**: $ \frac{۱}{۲^۲} = \frac{۱}{۴} $
**متصل به: $ \frac{۱}{۴} $**
۳- حاصل هر عبارت را به ساده‌ترین صورت بنویسید:
پاسخ تشریحی:
برای هر مورد، با استفاده از قوانین توان‌های منفی، صفر و ترتیب عملیات، حاصل را به دست می‌آوریم.
* **الف) $ (-\frac{۱}{۳})^{-۴} = (-\frac{۳}{۱})^۴ = (-۳)^۴ = ۸۱ $**
* **ب) $ ۲^{-۱} + ۳^{-۱} + ۴^{-۱} = \frac{۱}{۲} + \frac{۱}{۳} + \frac{۱}{۴} = \frac{۶+۴+۳}{۱۲} = \frac{۱۳}{۱۲} $**
* **ج) $ -(-۵)^۲ = -(۲۵) = -۲۵ $** (ابتدا توان محاسبه می‌شود)
* **د) $ -(-۵)^{-۲} = -(\frac{۱}{(-۵)^۲}) = -(\frac{۱}{۲۵}) = -\frac{۱}{۲۵} $**
* **ه) $ -۵^{-۲} = -(\frac{۱}{۵^۲}) = -\frac{۱}{۲۵} $** (توان فقط به ۵ اعمال می‌شود)
* **و) $ ۱^{-۲} = \frac{۱}{۱^۲} = ۱ $**
* **ز) $ \frac{(-۳)^۰}{۳} = \frac{۱}{۳} $** (هر عدد غیرصفر به توان صفر برابر ۱ است)
* **ح) $ -\frac{۱}{۲^{-۲}} = -(۲^۲) = -۴ $** (می‌توان توان منفی را از مخرج به صورت با توان مثبت به صورت برد)
* **ط) $ (\frac{۲}{۵})^{-۲} + (\frac{۵}{۲})^۲ = (\frac{۵}{۲})^۲ + (\frac{۵}{۲})^۲ = \frac{۲۵}{۴} + \frac{۲۵}{۴} = \frac{۵۰}{۴} = \frac{۲۵}{۲} $**
* **ی) $ ۲^۰ - ۲^{-۱} = ۱ - \frac{۱}{۲} = \frac{۱}{۲} $**
